Есептер банкі
Физика есептері
Тақырып, бөлім, деңгей және дереккөз бойынша сұрыпталған есептер жинағы. Әр есептің толық, қадам-қадам талданған шешуі бар — сабаққа да, олимпиадаға дайындыққа да дайын.
-
1
Қарама-қарсы және бір бағытта жүрген екі автобус #
Арасындағы қашықтық d = 10 км болатын A және B қалаларынан бір-біріне қарай екі автобус v₁ және v₂ жылдамдықтарымен шықты. Автобустар бір-біріне қарай жүргенде, олардың арасындағы қашықтық әрбір секунд сайын 5 м-ге азаяды. Ал автобустар бір бағытта қозғалса, олардың арасындағы қашықтық әрбір секунд сайын 1 м-ге азаяды. Автобустардың жылдамдықтарын анықтаңдар. Автобустар бір-біріне қарай жүргенде, қанша уақыттан кейін (t₁) және A қаласынан қандай қашықтықта (d₁) кездеседі? Бір бағытта қозғалса, екінші автобус бірінші автобусты қанша уақыттан кейін (t₂) және A қаласынан қандай қашықтықта (d₂) қуып жетеді?
Жауабы
v₁ = 3 м/с, v₂ = 2 м/с; t₁ ≈ 33 мин, d₁ = 6 км; t₂ ≈ 2 сағ 47 мин, d₂ = 30 км
Толық шешуі
Берілгені. d = 10 км = 10 000 м; жақындау жылдамдығы 5 м/с; бір бағытта — 1 м/с.
Табу керек. v₁, v₂, t₁, d₁, t₂, d₂.
Идея. «Арасындағы қашықтық әрбір секунд сайын қанша азаяды» деген сөз — бұл дәл салыстырмалы жылдамдықтың модулі. Бір автобусты санақ денесі етіп алсақ, екіншісі соған қарай осы жылдамдықпен жақындайды.
Шешуі.
1. Қарама-қарсы қозғалғанда салыстырмалы жылдамдық — жылдамдықтардың қосындысы, бір бағытта қозғалғанда — айырмасы:
v₁ + v₂ = 5 м/с, v₁ − v₂ = 1 м/с.
2. Екі теңдеуді қоссақ: 2v₁ = 6 м/с, яғни
v₁ = 3 м/с = 10,8 км/сағ, v₂ = 2 м/с = 7,2 км/сағ.
3. Кездесу (қарама-қарсы қозғалыс). Автобустардың арасындағы d қашықтық 5 м/с жылдамдықпен жабылады:
t₁ = d / (v₁ + v₂) = 10 000 / 5 = 2000 с ≈ 33,3 мин.
A-дан кездесу нүктесіне дейінгі қашықтық — бірінші автобус жүріп өткен жол:
d₁ = v₁t₁ = 3 · 2000 = 6000 м = 6 км.
Тексеру: екінші автобус 2 · 2000 = 4000 м = 4 км жүрді, 6 + 4 = 10 км ✓
4. Қуып жету (бір бағытта). Арақашықтық азаю үшін артта келе жатқан автобус жылдам болуы керек. Сондықтан екеуі де A → B бағытында жүрсін: A-дан шыққан жылдам автобус (v₁ = 3 м/с) алда келе жатқан баяу автобусты (v₂ = 2 м/с) қуып жетеді. Бастапқы алшақтық d, ол (v₁ − v₂) = 1 м/с жылдамдықпен жабылады:
t₂ = d / (v₁ − v₂) = 10 000 / 1 = 10 000 с = 2 сағ 46 мин 40 с ≈ 2 сағ 47 мин.
d₂ = v₁t₂ = 3 · 10 000 = 30 000 м = 30 км.
Тексеру: баяу автобус A-дан 10 км қашықтықтан бастап 2 · 10 000 = 20 000 м жүрді, 10 + 20 = 30 км ✓
Жауабы. v₁ = 3 м/с, v₂ = 2 м/с; t₁ ≈ 33,3 мин, d₁ = 6 км; t₂ ≈ 2 сағ 47 мин, d₂ = 30 км.
-
2
Желмен және желге қарсы жүрген екі велосипедші #
Арасындағы қашықтық d = 9 км болатын A және B қалаларынан бір мезгілде бір-біріне қарай екі велосипедші шықты. A-дан B-ға қарай бағытта v₀ жылдамдықпен жел соғады. Бірінші велосипедші қалалар арасындағы қашықтықты t₁ = 30 мин-та, ал екіншісі t₂ = 40 мин-та жүріп өтті. Желдің v₀ жылдамдығын және велосипедшілердің тыныш ауа-райындағы v жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v₀ ≈ 2,3 км/сағ; v ≈ 15,8 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. d = 9 км; t₁ = 30 мин = 0,5 сағ; t₂ = 40 мин = 2/3 сағ.
Табу керек. v₀, v.
Идея. Велосипедшінің жерге қатысты жылдамдығы — оның ауаға қатысты жылдамдығы мен желдің жылдамдығының қосындысы. Мұнда бәрі бір түзудің бойында, сондықтан векторлық қосу жай алгебралық қосуға айналады. Екеуінің де тыныш ауадағы жылдамдығы бірдей — v.
Шешуі.
1. Бірінші велосипедші A → B бағытында, яғни желмен бірге жүреді, оның жердегі жылдамдығы v + v₀. Екіншісі B → A, яғни желге қарсы жүреді, оның жылдамдығы v − v₀.
v + v₀ = d / t₁ = 9 / 0,5 = 18 км/сағ,
v − v₀ = d / t₂ = 9 / (2/3) = 13,5 км/сағ.
2. Қоссақ: 2v = 31,5 км/сағ; азайтсақ: 2v₀ = 4,5 км/сағ. Демек
v = 15,75 ≈ 15,8 км/сағ, v₀ = 2,25 ≈ 2,3 км/сағ.
Жалпы түрі. v = d(t₁ + t₂) / (2t₁t₂), v₀ = d(t₂ − t₁) / (2t₁t₂).
Жауабы. v ≈ 15,8 км/сағ; v₀ ≈ 2,3 км/сағ.
-
3
Екі қайықтың арасында ұшқан альбатрос #
Бір-біріне қарай v₁ және v₂ жылдамдықтарымен қозғалатын екі қайық арасында альбатрос тұрақты v жылдамдықпен ұшады. Қайықтар арасындағы бастапқы қашықтық s болса, қайықтар кездескенге дейін альбатрос қандай қашықтықты ұшып өтеді?
Жауабы
l = vs / (v₁ + v₂)
Толық шешуі
Берілгені. v₁, v₂ — қайықтардың жылдамдықтары; v — альбатростың жылдамдығы; s — бастапқы қашықтық.
Табу керек. l — альбатростың ұшып өткен жолы.
Идея. Бұл — атақты «шыбын мен велосипедшілер» есебі. Альбатрос қайықтар арасында қанша рет ары-бері ұшқанын санаудың қажеті жоқ: ол қайықтар кездескенге дейінгі бүкіл уақытта тұрақты v жылдамдықпен ұшады. Сондықтан алдымен уақытты табамыз.
Шешуі.
1. Қайықтар бір-біріне (v₁ + v₂) жылдамдықпен жақындайды, олардың арасы s. Кездесу уақыты:
t = s / (v₁ + v₂).
2. Дәл сол t уақыт ішінде альбатрос та үздіксіз ұшады — бағытын қанша рет өзгертсе де, жылдамдығының модулі v:
l = v·t = vs / (v₁ + v₂).
Мысал. s = 20 км, v₁ = v₂ = 10 км/сағ, v = 30 км/сағ болса: t = 1 сағ, l = 30 км.
Әдістемелік ескерту. Есепті «шексіз қатарды қосу» арқылы да шығаруға болады, бірақ бұл — ұзақ жол. Сұрақты «қайда ұшты?» емес, «қанша уақыт ұшты?» деп қою — кинематиканың ең пайдалы дағдыларының бірі.
Жауабы. l = vs / (v₁ + v₂).
-
4
Бір-біріне жақындаған ғарыш станциялары мен пошта контейнерлері #
Екі ғарыш станциясы v = 8·10³ км/сағ жылдамдықпен бір-біріне жақындап келеді. Бір станциядан екіншісіне әрбір Δt = 20 мин сайын, бірінші станцияға қатысты v₁ = 8·10³ км/сағ жылдамдықпен пошта контейнерлері жіберіледі. Екінші станцияның командирі бір сағат ішінде қанша хабарлама алатынын анықтаңдар.
Жауабы
n = (v + v₁)t / (v₁Δt) = 6 контейнер
Толық шешуі
Берілгені. v = 8·10³ км/сағ — станциялардың жақындау жылдамдығы; Δt = 20 мин = 1/3 сағ; v₁ = 8·10³ км/сағ — контейнердің бірінші станцияға қатысты жылдамдығы; t = 1 сағ.
Табу керек. n — бір сағатта қабылданатын контейнерлер саны.
Идея. Контейнерлер бірінен соң бірі бірдей Δt аралықпен жіберіледі, сондықтан кеңістікте олар бірдей қашықтықта тізіліп келеді. Екінші станция осы «тізбекті» қандай жылдамдықпен кесіп өтетінін тапсақ жеткілікті. Бұл — Доплер эффектісінің ең қарапайым, механикалық түрі.
Шешуі.
1. Барлық есепті бірінші станцияның санақ жүйесінде жүргіземіз. Мұнда әр контейнер v₁ жылдамдықпен ұшады, ал көрші екі контейнердің арасы:
L = v₁·Δt = 8·10³ · (1/3) ≈ 2,67·10³ км.
2. Осы жүйеде екінші станция v жылдамдықпен жақындайды, ал контейнерлер оған қарсы v₁ жылдамдықпен ұшады. Демек контейнер мен екінші станцияның жақындау жылдамдығы:
v_сал = v + v₁ = 1,6·10⁴ км/сағ.
3. t уақыт ішінде екінші станция контейнерлер тізбегінің бойымен v_сал·t қашықтыққа ілгерілейді, ал әр контейнер сайын L км кетеді:
n = (v + v₁)·t / (v₁·Δt) = 1,6·10⁴ · 1 / (8·10³ · 1/3) = 6.
Талдау. Егер станциялар қозғалмаса (v = 0), командир сағатына 3 контейнер алар еді — дәл жіберілген жиілікпен. Жақындау есебінен қабылдау жиілігі екі есе артты.
Жауабы. n = (v + v₁)t / (v₁Δt) = 6 контейнер.
-
5
Барып-қайтқан автомобильдің орташа жылдамдығы #
Автомобиль қалалар арасындағы қашықтықты t₁ уақытында v₁ жылдамдықпен жүріп өтті. Кері қайтқанда ол жолдың бір бөлігін сол t₁ уақытында v₂ жылдамдықпен, ал қалған уақытты v₃ жылдамдықпен жүрді. Автомобильдің қозғалысының орташа жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v_орт = 2v₁v₃ / (2v₃ + v₁ − v₂)
Толық шешуі
Берілгені. Барғанда: уақыты t₁, жылдамдығы v₁. Қайтқанда: алдымен t₁ уақыт бойы v₂ жылдамдықпен, содан соң қалған жолды v₃ жылдамдықпен.
Табу керек. v_орт.
Идея. Орташа жылдамдық — әрқашан бүкіл жолдың бүкіл уақытқа қатынасы, жылдамдықтардың орташа мәні емес:
v_орт = s_толық / t_толық.
Шешуі.
1. Қалалар арасы: s = v₁t₁. Барып-қайтқан толық жол: s_толық = 2v₁t₁.
2. Қайту жолының бірінші бөлігі: s′ = v₂t₁. Қалған бөлігі мен оған кеткен уақыт:
s″ = s − s′ = (v₁ − v₂)t₁, t₃ = (v₁ − v₂)t₁ / v₃.
3. Толық уақыт — үш мүшеден тұрады: барғандағы t₁, қайтқандағы t₁ және t₃:
t_толық = 2t₁ + (v₁ − v₂)t₁ / v₃ = t₁ · (2v₃ + v₁ − v₂) / v₃.
4. Орташа жылдамдық:
v_орт = 2v₁t₁ · v₃ / [t₁(2v₃ + v₁ − v₂)] = 2v₁v₃ / (2v₃ + v₁ − v₂).
Тексеру. v₁ = v₂ = v₃ = v болса, v_орт = 2v²/(2v + v − v) = v ✓ — бұл автомобиль бүкіл жолды бірқалыпты жүрген жағдай.
Ескерту. Кейбір жинақтарда бұл есептің жауабы 2v₁v₃/(v₃ + v₁ − v₂) түрінде берілген. Ол дұрыс емес: жоғарыдағы тексеруде мұндай өрнек v орнына 2v береді. Бөлімдегі v₃ алдындағы 2 — барғандағы және қайтқандағы екі t₁ уақытынан шығады.
Жауабы. v_орт = 2v₁v₃ / (2v₃ + v₁ − v₂).
-
6
Жолдың үш бөлігін әртүрлі жылдамдықпен жүрген пойыз #
Егер пойыз жолдың бірінші үштен бір бөлігін v₁ = 50 км/сағ жылдамдықпен, екінші үштен бір бөлігін v₂ = 75 км/сағ жылдамдықпен, ал соңғы үштен бір бөлігін алдыңғы екі бөліктегі орташа жылдамдықтан екі есе үлкен жылдамдықпен жүрсе, пойыздың барлық жолдағы орташа жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v_орт = 12v₁v₂ / [5(v₁ + v₂)] = 72 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. v₁ = 50 км/сағ, v₂ = 75 км/сағ, v₃ = 2v₁₂, мұндағы v₁₂ — алғашқы екі бөліктегі орташа жылдамдық. Әр бөлік — s/3.
Табу керек. v_орт.
Идея. Есепті екі қадаммен шешеміз: алдымен алғашқы екі бөліктің орташа жылдамдығын (бұл — гармониялық орта), содан соң үш бөліктің бәрін қамтитын орташа жылдамдықты табамыз.
Шешуі.
1. Алғашқы екі бөліктің әрқайсысы s/3, оларға кеткен уақыт:
t₁ = s / (3v₁), t₂ = s / (3v₂), t₁ + t₂ = (s/3)·(v₁ + v₂)/(v₁v₂).
Жүрілген жол 2s/3, сондықтан
v₁₂ = (2s/3) / (t₁ + t₂) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) = 2·50·75 / 125 = 60 км/сағ.
2. Үшінші бөліктегі жылдамдық:
v₃ = 2v₁₂ = 4v₁v₂ / (v₁ + v₂) = 120 км/сағ, t₃ = s / (3v₃).
3. Толық уақыт:
t = (s/3)·[ (v₁+v₂)/(v₁v₂) + (v₁+v₂)/(4v₁v₂) ] = (s/3)·(5/4)·(v₁+v₂)/(v₁v₂) = 5s(v₁+v₂) / (12v₁v₂).
4. Демек
v_орт = s/t = 12v₁v₂ / [5(v₁ + v₂)] = 12·50·75 / (5·125) = 72 км/сағ.
Сандық тексеру. s = 360 км десек: t₁ = 120/50 = 2,4 сағ; t₂ = 120/75 = 1,6 сағ; t₃ = 120/120 = 1 сағ. Барлығы 5 сағ, 360/5 = 72 км/сағ ✓
Жауабы. v_орт = 12v₁v₂ / [5(v₁ + v₂)] = 72 км/сағ.
-
7
Негізгі топтан үш айналымға озған велошабандоз #
Жүзінші айналымды аяқтай отырып, веложарыстың көшбасшысы негізгі топтан 3 айналымға озып шықты. Егер топтың орташа жылдамдығы 45 км/сағ болса, көшбасшының орташа жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v ≈ 46,4 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. Көшбасшы N₁ = 100 айналым жүріп өткенде, топ N₂ = 100 − 3 = 97 айналым жүрді; v_топ = 45 км/сағ.
Табу керек. v_көш.
Идея. Көшбасшы мен топ бір уақыт ішінде әртүрлі жол жүрді. Бірдей уақытта жүрілген жолдар жылдамдықтарға тура пропорционал.
Шешуі.
1. Бір айналымның ұзындығы L болсын. Сол t уақыт ішінде:
v_көш · t = 100L, v_топ · t = 97L.
2. Бірін екіншісіне бөлеміз — L мен t қысқарады:
v_көш / v_топ = 100 / 97.
3. Демек
v_көш = v_топ · 100/97 = 45 · 100/97 ≈ 46,4 км/сағ.
Талдау. Жылдамдық небәрі 3,1 %-ға ғана артық — жүз айналымда үш айналымға озу үшін осы да жеткілікті. Ұзақ жарыстарда шағын артықшылықтың қалай жинақталатынын көрсететін жақсы мысал.
Жауабы. v_көш ≈ 46,4 км/сағ.
-
8
Жолдары мен уақыттары қатынаспен берілген пойыз #
Пойыз жүрген жолының жеке бөліктері 1:3:4:2 қатынасында болса, ал оларды жүріп өту үшін уақыт 2:4:3:1 қатынасында жұмсалса және соңғы бөліктегі жылдамдық 80 км/сағ-қа тең болса, пойыздың орташа жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v_орт = 40 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. s₁ : s₂ : s₃ : s₄ = 1 : 3 : 4 : 2; t₁ : t₂ : t₃ : t₄ = 2 : 4 : 3 : 1; v₄ = 80 км/сағ.
Табу керек. v_орт.
Идея. Қатынастарды пропорция коэффициенттері арқылы жазамыз: s_i = k·(1, 3, 4, 2) және t_i = m·(2, 4, 3, 1). Сонда белгісіз екеу ғана — k және m, ал берілген v₄ солардың қатынасын береді.
Шешуі.
1. Соңғы бөлік: s₄ = 2k, t₄ = m. Демек
v₄ = 2k / m = 80 км/сағ ⟹ k / m = 40 км/сағ.
2. Толық жол мен толық уақыт:
s = k(1 + 3 + 4 + 2) = 10k, t = m(2 + 4 + 3 + 1) = 10m.
3. Сондықтан
v_орт = s / t = 10k / 10m = k/m = 40 км/сағ.
Талдау. Екі қатынастағы мүшелердің қосындысы бірдей болып шықты (10 және 10), сондықтан жауап тікелей k/m-ге тең. Сандық тексеру: k = 40 км, m = 1 сағ десек, жолдар 40, 120, 160, 80 км (барлығы 400 км), уақыттар 2, 4, 3, 1 сағ (барлығы 10 сағ), бөліктердегі жылдамдықтар 20; 30; 53,3 және 80 км/сағ; 400/10 = 40 км/сағ ✓
Жауабы. v_орт = 40 км/сағ.
-
9
Екі турист және бір велосипед #
Екі турист бір мезгілде — біреуі v₁ жылдамдықпен велосипедпен, ал екіншісі v₂ жылдамдықпен жаяу — саяхатқа шықты. Жолдағы белгілі бір жерде велосипедші велосипедті жаяу жүруші үшін қалдырып, өзі әрі қарай жаяу жүреді. Екі турист де саяхаттың соңғы пунктіне бір мезгілде жетеді. Туристер қандай орташа жылдамдықпен қозғалды? Егер велосипедші жолдың бір жерінде велосипедті үшінші туристке беріп, ол жаяу жүрушіге қарсы жүріп велосипедті оған табыстаса және екі турист те саяхатты қайтадан бір мезгілде аяқтаса, орташа жылдамдық өзгере ме?
Жауабы
v_орт = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂); екінші жағдайда орташа жылдамдық артады
Толық шешуі
Берілгені. Жолдың ұзындығы L; велосипед жылдамдығы v₁, жаяу жүру жылдамдығы v₂ (v₁ > v₂). Екі турист бір мезгілде шығып, бір мезгілде жетеді.
Табу керек. v_орт, сондай-ақ екінші сценарийдегі өзгерісті сапалық бағалау.
Идея. Велосипед қалдырылатын нүктенің орнын x деп белгілеп, «екеуі де бір мезгілде жетеді» шартынан x-ті табамыз.
1-бөлім.
1. Бірінші турист x жолды велосипедпен, қалған (L − x) жолды жаяу жүреді; екіншісі керісінше — x жолды жаяу, (L − x) жолды велосипедпен:
x/v₁ + (L−x)/v₂ = x/v₂ + (L−x)/v₁.
2. Мүшелерін топтасақ:
(2x − L)/v₁ = (2x − L)/v₂.
v₁ ≠ v₂ болғандықтан бұл тек 2x − L = 0 болғанда орындалады, яғни
x = L/2 — велосипед жолдың дәл ортасында қалдырылады.
3. Әрқайсысының уақыты мен орташа жылдамдығы:
t = L/(2v₁) + L/(2v₂) = L(v₁ + v₂) / (2v₁v₂),
v_орт = L/t = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂).
Бұл — v₁ мен v₂-нің гармониялық ортасы; ол әрқашан арифметикалық ортадан кіші.
2-бөлім (сапалық).
Бірінші сценарийде велосипед жол бойында бос жатады: бірінші турист оны тастаған сәттен екінші турист келгенге дейін ол ешкімді тасымайды. Екінші сценарийде үшінші турист велосипедті кері алып келеді, сондықтан велосипед бүкіл уақыт бойы қозғалыста болады және екі туристке көбірек «велосипед-километр» үлестіреді. Әрқайсысының велосипедпен жүрген жолы L/2-ден үлкен, жаяу жүрген жолы кіші болады, демек
v_орт (2-жағдай) > 2v₁v₂ / (v₁ + v₂).
Жауабы. v_орт = 2v₁v₂/(v₁ + v₂); екінші жағдайда орташа жылдамдық үлкенірек болады.
-
10
Жылдамдығын екі есе арттырған мотоциклші #
Мотоциклші екі пункттің арасындағы қашықтықты 40 км/сағ жылдамдықпен жүріп өтті. Содан кейін жылдамдығын 80 км/сағ-қа дейін арттырып, тағы екі есе аз қашықтықты жүрді. Мотоциклшінің қозғалыстың бүкіл уақытындағы орташа жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v_орт = 48 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. s₁ = s, v₁ = 40 км/сағ; s₂ = s/2, v₂ = 80 км/сағ.
Табу керек. v_орт.
Идея. Тағы да v_орт = s_толық / t_толық. Жолдар тең болмағандықтан гармониялық орта формуласын тікелей қолдануға болмайды — уақыттарды бөлек санау керек.
Шешуі.
1. Уақыттар:
t₁ = s / 40, t₂ = (s/2) / 80 = s / 160.
2. Қосындылар:
s_толық = s + s/2 = 1,5s, t_толық = s/40 + s/160 = 5s/160 = s/32.
3. Орташа жылдамдық:
v_орт = 1,5s / (s/32) = 1,5 · 32 = 48 км/сағ.
Сандық тексеру. s = 160 км десек: 160 км — 4 сағ, 80 км — 1 сағ. Барлығы 240 км / 5 сағ = 48 км/сағ ✓
Жиі кездесетін қате. (40 + 80)/2 = 60 км/сағ деп жауап беру. Бұл — жылдамдықтардың арифметикалық ортасы; ол тек уақыттары тең болғанда ғана дұрыс.
Жауабы. v_орт = 48 км/сағ.
-
11
Жолдың жартысы шоссе, жартысы грунт жол #
Автомобиль жолдың бірінші жартысын шоссемен v₁ = 90 км/сағ жылдамдықпен, екінші жартысын грунт жолмен v₂ = 30 км/сағ жылдамдықпен жүріп өтті. Автомобильдің орташа жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v_орт = 45 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. v₁ = 90 км/сағ, v₂ = 30 км/сағ, жол бөліктері тең: s/2.
Табу керек. v_орт.
Шешуі.
1. Әр бөлікке кеткен уақыт:
t₁ = s / (2v₁), t₂ = s / (2v₂).
2. Толық уақыт:
t = (s/2)·(1/v₁ + 1/v₂) = s(v₁ + v₂) / (2v₁v₂).
3. Орташа жылдамдық — гармониялық орта:
v_орт = s/t = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) = 2·90·30 / 120 = 45 км/сағ.
Талдау. Арифметикалық орта (90 + 30)/2 = 60 км/сағ болар еді. Бірақ автомобиль баяу бөлікте үш есе көп уақыт өткізеді, сондықтан нәтиже баяу жылдамдыққа қарай ығысады. Жалпы ереже: жолдың тең бөліктерінде — гармониялық орта, уақыттың тең бөліктерінде — арифметикалық орта.
Жауабы. v_орт = 45 км/сағ.
-
12
Жаяу, автобуспен және электричкамен жүрген туристер #
Демалыс орнынан қалаға дейінгі жолды туристер орташа 32 км/сағ жылдамдықпен өтті: жартылай жаяу, жартылай автобуспен және содан кейін электричкамен. Жол бөліктерінің ұзындықтары 1:4:45 қатынасында, ал оларға сәйкес уақыт аралықтары 4:1:20 қатынасында болса, әр бөлікті қандай жылдамдықпен өткен?
Жауабы
v₁ = 4 км/сағ; v₂ = 64 км/сағ; v₃ = 36 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. v_орт = 32 км/сағ; s₁ : s₂ : s₃ = 1 : 4 : 45; t₁ : t₂ : t₃ = 4 : 1 : 20.
Табу керек. v₁, v₂, v₃.
Идея. Бұл — 8-есептің кері нұсқасы: мұнда орташа жылдамдық берілген, ал бөліктердегі жылдамдықтарды табу керек. Тағы да пропорция коэффициенттерін енгіземіз.
Шешуі.
1. s_i = k·(1, 4, 45) және t_i = m·(4, 1, 20) деп жазамыз.
2. Толық жол мен толық уақыт:
s = k(1 + 4 + 45) = 50k, t = m(4 + 1 + 20) = 25m.
3. Орташа жылдамдық шартынан k/m қатынасын табамыз:
v_орт = 50k / 25m = 2k/m = 32 км/сағ ⟹ k/m = 16 км/сағ.
4. Енді әр бөліктің жылдамдығы:
v₁ = s₁/t₁ = k/(4m) = 16/4 = 4 км/сағ (жаяу),
v₂ = s₂/t₂ = 4k/m = 4·16 = 64 км/сағ (автобус),
v₃ = s₃/t₃ = 45k/(20m) = 2,25·16 = 36 км/сағ (электричка).
Тексеру. k = 16 км, m = 1 сағ десек: жолдар 16, 64, 720 км (барлығы 800 км), уақыттар 4, 1, 20 сағ (барлығы 25 сағ); 800/25 = 32 км/сағ ✓
Жауабы. v₁ = 4 км/сағ; v₂ = 64 км/сағ; v₃ = 36 км/сағ.
-
13
Өзеннен су алып, алауды сөндіру: ең аз уақыт #
Адам өзеннен 6 м қашықтықта тұр. Өзеннен 34 м қашықтықта алау жанып тұр. Адамнан және алаудан өзен жағасына түсірілген перпендикулярлардың арасындағы қашықтық 30 м. Адам өзенге v = 5 м/с жылдамдықпен жүгіріп барып, шелекке су толтырады, содан кейін алауға жүгіріп барып, оны сөндіреді. Шелекке су толтыруға τ = 5 с уақыт кетсе, адамға алауды өшіру үшін ең аз дегенде қанша уақыт қажет?
Жауабы
t = 15 с
Толық шешуі
Берілгені. AD = 6 м (адамнан жағаға дейін), BC = 34 м (алаудан жағаға дейін), DC = 30 м, v = 5 м/с, τ = 5 с.
Табу керек. t_мин.
Идея. Жылдамдық тұрақты болғандықтан, уақытты азайту — жолды азайту деген сөз. Адам жағаның бір нүктесіне (O) барып, содан алауға баруы керек: жол AO + OB. Мұндай есепті шағылу (симметрия) әдісі бірден шешеді: A нүктесін жағаға қатысты айнадағыдай көшіріп, A₁ нүктесін аламыз. Сонда AO = A₁O, демек
AO + OB = A₁O + OB ≥ A₁B,
ал теңдік тек A₁, O, B бір түзудің бойында жатқанда орындалады. Бұл — жарықтың шағылу заңының («түсу бұрышы = шағылу бұрышы») механикадағы дәл көшірмесі.
Шешуі.
1. A₁ нүктесі жағаның арғы жағында, одан 6 м қашықтықта жатады. Сонда A₁ мен B нүктелерінің жағаға перпендикуляр бағыттағы арақашықтығы:
AD + BC = 6 + 34 = 40 м,
ал жаға бойымен — DC = 30 м.
2. Пифагор теоремасы бойынша ең қысқа жол:
s_мин = A₁B = √(DC² + (AD + BC)²) = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 м.
3. Толық уақыт — жүгіру уақыты плюс су құю уақыты:
t_мин = s_мин / v + τ = 50 / 5 + 5 = 10 + 5 = 15 с.
Талдау. Су алатын O нүктесінің орнын да табуға болады: ұқсас үшбұрыштардан DO / DC = AD / (AD + BC) = 6/40, яғни DO = 30 · 0,15 = 4,5 м. Адам өзінен ең жақын жағаға тіке жүгірмей, алауға қарай сәл ығысып барғаны тиімді.
Жауабы. t_мин = 15 с.
-
14
Алға озып кетіп, серігіне қайта оралған велосипедші #
Екі велосипедші v₁ = 35 км/сағ жылдамдықпен жүріп келеді. Олардың біреуі жылдамдығын v₂ = 45 км/сағ-ға дейін арттырып, осы жылдамдықпен l = 10 км жол жүреді, содан кейін жылдамдығын кемітпей, бірінші велосипедшіге қарай бұрылады. Велосипедші алға жүріп кеткен сәттен серігіне қайта оралғанша дейін қанша уақыт өтеді?
Жауабы
t = 2l / (v₁ + v₂) = 15 мин
Толық шешуі
Берілгені. v₁ = 35 км/сағ, v₂ = 45 км/сағ, l = 10 км.
Табу керек. t — толық уақыт.
Идея. Қозғалысты екі кезеңге бөлеміз: озу және қайта оралу. Екеуінде де бірінші велосипедші бірқалыпты v₁ жылдамдықпен жүре береді.
Шешуі.
1. Бірінші кезең. Екінші велосипедші l = 10 км жүреді:
t_а = l / v₂ = 10 / 45 сағ = 2/9 сағ ≈ 13 мин 20 с.
Осы уақытта олардың арақашықтығы (v₂ − v₁) жылдамдықпен өседі:
Δs = (v₂ − v₁)·t_а = 10 · (10/45) = 100/45 км ≈ 2,22 км.
2. Екінші кезең. Ол бұрылған соң екеуі бір-біріне (v₁ + v₂) жылдамдықпен жақындайды:
t_б = Δs / (v₁ + v₂) = (100/45) / 80 = 1/36 сағ ≈ 1 мин 40 с.
3. Толық уақыт:
t = t_а + t_б = 2/9 + 1/36 = 8/36 + 1/36 = 9/36 = 1/4 сағ = 15 мин.
Әдемі жалпы шешім. Әріптік түрде есептесек, ықшамдаулардан кейін бөлек-бөлек уақыттар түгел қысқарып, өте қарапайым өрнек қалады:
t = (l/v₂)·[1 + (v₂ − v₁)/(v₁ + v₂)] = (l/v₂)·(2v₂)/(v₁ + v₂) = 2l / (v₁ + v₂).
Тексеру: 2·10 / 80 = 0,25 сағ = 15 мин ✓ Назар аударыңыз: жауапта v₂ мүлде жоқ — тек қосынды v₁ + v₂ бар.
Жауабы. t = 2l/(v₁ + v₂) = 15 мин.
-
15
Жаяу жүргінші мен оны қуып жеткен автомобиль #
Бір қаладан екінші қалаға жаяу жүргінші шықты. Ол s₁ = 27 км қашықтықты жүріп өткен кезде, оның артынан жылдамдығы 10 есе артық автомобиль шықты. Олар екінші қалаға бір мезгілде келді. Қалалар арасындағы қашықтық қандай?
Жауабы
s = 30 км
Толық шешуі
Берілгені. s₁ = 27 км; v_авт = 10v (v — жаяу жүргіншінің жылдамдығы); екеуі бір мезгілде жетеді.
Табу керек. s — қалалар арасындағы қашықтық.
Идея. Автомобиль шыққан сәттен бастап санасақ, екеуі де бірдей уақыт жүреді: жаяу жүргінші қалған (s − 27) км-ді, автомобиль толық s км-ді.
Шешуі.
1. Уақыттарды теңестіреміз:
(s − 27) / v = s / (10v).
2. v қысқарады, айқастыра көбейтеміз:
10(s − 27) = s ⟹ 10s − 270 = s ⟹ 9s = 270 ⟹ s = 30 км.
Тексеру. v = 5 км/сағ десек: жаяу жүргіншіге қалған 3 км-ге 0,6 сағ керек; автомобиль 50 км/сағ жылдамдықпен 30 км-ді 0,6 сағатта жүреді ✓
Талдау. Жаяу жүргінші жолдың 27/30 = 90 % бөлігін жалғыз жүріп үлгерген; автомобиль оны дәл финишта қуып жетті.
Жауабы. s = 30 км.
-
16
Құтқару шеңберін қуып жеткен катер #
Өзен ағысымен төмен қарай жүзіп келе жатқан катер құтқару шеңберін қуып жетеді. Осыдан 30 мин өткен соң катер қозғалтқышының қуатын өзгертпестен кері бұрылады да, шеңберді алғашқы кездескен жерінен 5 км қашықтықта қайта кездестіреді. Өзен ағысының жылдамдығын анықтаңдар.
Жауабы
v_ағыс = 5 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. t₁ = 30 мин = 0,5 сағ (қуып жеткеннен бұрылғанға дейін); l = 5 км — екі кездесу нүктесінің арасы (жағамен өлшенген).
Табу керек. v_ағыс.
Идея. Есептің кілті — суға байланысқан санақ жүйесіне көшу. Ол жүйеде:
- шеңбер мүлде қозғалмайды (ол ағыспен бірге жүзеді);
- катердің қозғалтқыш қуаты өзгермегендіктен, оның суға қатысты жылдамдығы модулі бойынша тұрақты — u.
Шешуі.
1. Су жүйесінде катер шеңберден 30 мин бойы u жылдамдықпен алшақтайды, содан соң дәл сондай жылдамдықпен кері қайтады. Демек ол шеңберге оралуға да нақ 30 мин жұмсайды:
t = t₁ + t₂ = 0,5 + 0,5 = 1 сағ.
Бұл ағыстың жылдамдығына, катердің жылдамдығына да тәуелді емес — тек симметриядан шығады.
2. Енді жағаға қайта ораламыз. Осы 1 сағат ішінде шеңбер ағыспен бірге 5 км жылжыды — және дәл сол жерде екінші кездесу болды. Демек
v_ағыс = l / t = 5 / 1 = 5 км/сағ.
Талдау. Катердің өз жылдамдығы есепте мүлде қажет болмады. Дұрыс санақ жүйесін таңдау есепті бірнеше жолдық теңдеулер жүйесінен екі жолға дейін қысқартады.
Жауабы. v_ағыс = 5 км/сағ.
-
17
Жаяу жүргіншіні басып озған және қарсы кездескен трамвайлар #
Трамвай жолын бойлай жаяу келе жатқан адамды әр 7 мин сайын трамвай басып озады, ал әр 5 мин сайын оған қарсы келе жатқан трамвай кездеседі. Трамвайлар бір-бірінен қандай уақыт аралығымен жүреді?
Жауабы
T = 2t₁t₂/(t₁ + t₂) = 5 мин 50 с
Толық шешуі
Берілгені. t₁ = 7 мин (басып озу аралығы), t₂ = 5 мин (қарсы кездесу аралығы).
Табу керек. T — трамвайлардың жүру аралығы.
Идея. Трамвайлар бірдей T аралықпен шығатындықтан, көрші екі трамвайдың арасы жолда тұрақты:
L = u·T,
мұндағы u — трамвайдың жылдамдығы. Жаяу жүргіншіге бұл алшақтық салыстырмалы жылдамдықпен жабылады.
Шешуі.
1. Жаяу жүргіншінің жылдамдығы v болсын. Артынан қуып жеткен трамвай оған (u − v) жылдамдықпен жақындайды, қарсы келгені — (u + v) жылдамдықпен:
L = (u − v)·t₁ = (u + v)·t₂.
2. Сандарды қойсақ: 7(u − v) = 5(u + v) ⟹ 7u − 7v = 5u + 5v ⟹ 2u = 12v, яғни u = 6v — трамвай жаяу жүргіншіден алты есе жылдам.
3. Енді L = uT теңдігін пайдаланамыз:
uT = (u − v)t₁ = (6v − v)·7 = 35v ⟹ T = 35v / (6v) = 35/6 мин.
T = 5 мин 50 с.
Жалпы формула. Екі өрнектен u мен v-ні шығарып тастасақ:
T = 2t₁t₂ / (t₁ + t₂) = 2·7·5 / 12 = 35/6 мин ✓
Яғни жүру аралығы — t₁ мен t₂-нің гармониялық ортасы, ол әрқашан осы екеуінің арасында жатады.
Жауабы. T = 2t₁t₂/(t₁ + t₂) ≈ 5 мин 50 с.
-
18
Жаяу жүргінші, велосипедші және мотоциклші #
Жаяу жүргінші, велосипедші және мотоциклші шоссемен бір бағытта тұрақты жылдамдықтармен қозғалып келеді. Велосипедші мен мотоциклші бір нүктеде болған сәтте жаяу жүргінші олардан 10 км алда еді. Мотоциклші жаяу жүргіншіні қуып жеткен кезде велосипедші олардан 5 км артта келе жатты. Велосипедші жаяу жүргіншіні қуып жеткен сәтте мотоциклші жаяу жүргіншіден неше километр алда болады?
Жауабы
x = 10 км
Толық шешуі
Берілгені. t = 0 сәтінде велосипедші мен мотоциклші бір нүктеде, жаяу жүргінші олардан d = 10 км алда. t₁ сәтінде мотоциклші жаяу жүргіншіні қуып жетті, сол кезде велосипедші олардан 5 км артта.
Табу керек. x — велосипедші жаяу жүргіншіні қуып жеткен t₂ сәтіндегі мотоциклші мен жаяу жүргіншінің арақашықтығы.
Идея. Үш дененің жылдамдықтарын жеке-жеке табудың қажеті жоқ — тек жылдамдықтар айырмасымен жұмыс істейміз. Барлық арақашықтық осы айырмалар арқылы өрнектеледі.
Шешуі.
1. v_м, v_в, v_ж — мотоциклші, велосипедші, жаяу жүргіншінің жылдамдықтары. t₁ сәтінде мотоциклші жаяу жүргіншіні қуып жетті:
(v_м − v_ж)·t₁ = 10 км. (1)
2. Сол сәтте велосипедші мотоциклшіден 5 км артта (екеуі де бір нүктеден шыққан):
(v_м − v_в)·t₁ = 5 км. (2)
3. (1) мен (2)-ні салыстырсақ: v_м − v_в = ½(v_м − v_ж). Ал
v_в − v_ж = (v_м − v_ж) − (v_м − v_в) = ½(v_м − v_ж),
яғни велосипедші жаяу жүргіншіге мотоциклшіден дәл екі есе баяу жақындайды.
4. Сондықтан велосипедші сол 10 км-ді екі есе ұзақ жабады:
t₂ = 10 / (v_в − v_ж) = 2 · 10/(v_м − v_ж) = 2t₁.
5. Мотоциклші мен велосипедшінің арақашықтығы (v_м − v_в) жылдамдықпен өседі, сондықтан t₂ = 2t₁ сәтінде ол (2)-дегіден екі есе үлкен:
Δ = (v_м − v_в)·t₂ = 2 · 5 = 10 км.
Ал бұл сәтте велосипедші мен жаяу жүргінші бір нүктеде тұр, демек мотоциклші жаяу жүргіншіден де 10 км алда.
x = 10 км.
Жауабы. x = 10 км.
-
19
Жаттықтырушыны кездестірген соң кері бұрылған спортшылар колоннасы #
Спортшылар ұзындығы l₀ колонна құрап, v жылдамдықпен жүгіріп келеді. Оларға қарсы u жылдамдықпен (u < v) жаттықтырушы жүгіріп келеді. Жаттықтырушымен қатарласқан әрбір спортшы кері бұрылып, сол v жылдамдықпен жүгіреді. Барлық спортшылар кері бұрылғаннан кейін колоннаның ұзындығы қандай болады?
Жауабы
l = l₀(v − u)/(v + u)
Толық шешуі
Берілгені. l₀ — бастапқы колонна ұзындығы; v — спортшылардың жылдамдығы; u — жаттықтырушының жылдамдығы, u < v.
Табу керек. l — барлығы бұрылған соңғы колонна ұзындығы.
Идея. Колоннаның жаңа ұзындығы — бірінші (ең ерте бұрылған) және соңғы (ең кеш бұрылған) спортшылардың арақашықтығы, соңғысы бұрылған дәл сол сәтте өлшенген. Демек екі санды табу керек: жаттықтырушының колоннаны кесіп өту уақыты және сол уақыттағы ығысулар.
Шешуі.
1. Спортшылардың бастапқы қозғалыс бағытын оң деп алайық. t = 0 сәтінде жаттықтырушы колоннаның алдыңғы басымен қатарласты; оны координаталар басы етеміз. Сонда:
- жаттықтырушы: x_ж = −u·t;
- колоннаның соңғы спортшысы: x_с = −l₀ + v·t.
2. Олар кездескенде x_ж = x_с:
−u·T = −l₀ + v·T ⟹ T = l₀ / (v + u).
Бұл күтілгендей: колонна жүйесінде жаттықтырушы (v + u) жылдамдықпен жақындайды.
3. T сәтіндегі екі шеткі спортшының орны:
- бірінші спортшы t = 0-де бұрылып, T уақыт бойы кері жүгірді: x₁ = −v·T;
- соңғы спортшы дәл сол сәтте жаттықтырушымен қатарласты: x₂ = −u·T.
4. Колоннаның жаңа ұзындығы:
l = |x₂ − x₁| = (v − u)·T = l₀ · (v − u) / (v + u).
Талдау. u < v болғандықтан l < l₀ — колонна қысқарады. Шектік жағдайлар: u → 0 болса l → l₀ (қозғалмай тұрған жаттықтырушы колоннаны өзгертпейді), ал u → v болса l → 0 (барлық спортшылар іс жүзінде бір сәтте бұрылады).
Жауабы. l = l₀(v − u)/(v + u).
-
20
Каналмен бе, әлде өзенмен бе: қайсысы тезірек? #
A және B елді мекендері бір жағынан су каналымен, екінші жағынан өзенмен байланысқан, әрі екі жолдың да ұзындығы 12 км. Жылдамдығы 16 км/сағ моторлы қайық A пунктінен B пунктіне барып, мүмкіндігінше аз уақытта кері оралуы керек (қайық барып-қайту жолын тек өзенмен немесе тек каналмен жүреді). Қайық қай жолмен тезірек барып қайтады?
Жауабы
Каналмен (тынық сумен) тезірек барып қайтады
Толық шешуі
Берілгені. s = 12 км (әр жолдың ұзындығы), u = 16 км/сағ — қайықтың суға қатысты жылдамдығы. Каналда су қозғалмайды, өзенде ағыс жылдамдығы v (берілмеген, v > 0).
Табу керек. Қай жолдың уақыты аз.
Идея. Ағыс барғанда көмектеседі, қайтқанда кедергі келтіреді. Бірінші қарағанда «бірін-бірі өтейді» сияқты көрінеді, бірақ қайық баяу жылдамдықпен көбірек уақыт жүреді, сондықтан жоғалту әрқашан ұтыстан басым.
Шешуі.
1. Канал (тынық су). Екі бағытта да жылдамдық u:
t_к = 2s / u = 24 / 16 = 1,5 сағ.
2. Өзен. Ағыспен: u + v, ағысқа қарсы: u − v (қайық жүзе алуы үшін v < u болуы керек):
t_ө = s/(u + v) + s/(u − v) = s·[(u − v) + (u + v)] / (u² − v²) = 2su / (u² − v²).
3. Екеуін салыстырамыз:
t_ө / t_к = [2su/(u² − v²)] · [u/(2s)] = u² / (u² − v²).
v > 0 болғандықтан u² − v² < u², демек бұл қатынас бірден үлкен:
t_ө > t_к (кез келген v > 0 үшін).
Талдау. Жауап ағыстың жылдамдығына тәуелсіз — сондықтан есепте v берілмеген де. Мысалы v = 8 км/сағ болса: t_ө = 2·12·16/(256 − 64) = 2 сағ, яғни каналдан 30 мин ұзақ. v → u болғанда t_ө → ∞: қайық ағысқа қарсы мүлде қозғала алмай қалады.
Жауабы. Қайық каналмен (тынық сумен) тезірек барып қайтады.
-
21
Автомобиль мен өгіз арба: турист уақыт үнемдеді ме? #
Турист жолдың бірінші жартысын автомобильмен жаяу жүргендегіден 10 есе жылдам, ал екінші жартысын өгіз арбамен жаяу жүргендегіден екі есе баяу жүріп өтті. Турист бүкіл жолды жаяу жүрмей, осылайша жүріп өткенде уақыт үнемдеді ме?
Жауабы
Жоқ — ол жаяу жүргеннен 5 % көп уақыт жұмсады
Толық шешуі
Берілгені. Жол ұзындығы s; жаяу жүру жылдамдығы v. Бірінші жартысы: v₁ = 10v; екінші жартысы: v₂ = v/2.
Табу керек. t_нақты мен t_жаяу = s/v қайсысы кіші.
Идея. Тез жүрген бөлікте уақыт аз жұмсалады, сондықтан ол пайда аз береді; ал баяу жүрген бөлікте уақыт көп жоғалады. Осы асимметрияны сандармен көрсетеміз.
Шешуі.
1. Екі бөліктің уақыты:
t₁ = (s/2) / (10v) = s / (20v), t₂ = (s/2) / (v/2) = s / v.
2. Толық уақыт:
t = s/(20v) + s/v = (s/v)·(1/20 + 1) = 1,05 · s/v.
3. Ал бүкіл жолды жаяу жүрсе: t_жаяу = s/v. Демек
t = 1,05 · t_жаяу > t_жаяу.
Талдау. Автомобиль жолдың жартысын жаяу жүргендегі уақыттың небәрі 1/20 бөлігінде өтті — яғни ең көп дегенде 0,45·(s/v) уақыт үнемдеуге болатын еді. Ал өгіз арба сол жартысын екі есе ұзақ, яғни 0,5·(s/v) уақыт артық жүрді. Жоғалту ұтыстан басым.
Қорытынды ереже. Жолдың тең бөліктерінде орташа жылдамдық — гармониялық орта: v_орт = 2·10v·(v/2)/(10v + v/2) = 10v²/(10,5v) ≈ 0,952v < v.
Жауабы. Жоқ, турист уақыт үнемдеген жоқ — керісінше, 5 %-ға көп уақыт жұмсады.
-
22
Уақытты тең бөлген және жолды тең бөлген екі жаяу жүргінші #
Екі жаяу жүргінші A пунктінен B пунктіне бір мезгілде шықты. Біріншісі A-дан B-ға дейінгі жолға жұмсаған уақытының бірінші жартысында v₁ жылдамдықпен, ал қалған жартысында v₂ жылдамдықпен жүрді. Екіншісі жолдың бірінші жартысын v₂ жылдамдықпен, ал екінші жартысын v₁ жылдамдықпен жүріп өтті. Олардың қайсысы B пунктіне бұрын жетті?
Жауабы
Бірінші жаяу жүргінші ерте жетеді (v₁ ≠ v₂ болса)
Толық шешуі
Берілгені. Жол ұзындығы s. Бірінші жүргінші уақытты тең бөледі, екіншісі жолды тең бөледі.
Табу керек. Қайсысы бұрын жетеді.
Идея. Бұл есеп — кинематикадағы ең маңызды екі орташаның салыстыруы: арифметикалық және гармониялық орта.
Шешуі.
1. Бірінші жүргінші. Толық уақыты t болсын. Жүрген жолы:
s = v₁·(t/2) + v₂·(t/2) = t(v₁ + v₂)/2 ⟹ v_орт,₁ = s/t = (v₁ + v₂)/2.
Бұл — арифметикалық орта.
2. Екінші жүргінші. Әр жарты жолға кеткен уақыт s/(2v₂) және s/(2v₁):
t′ = (s/2)·(1/v₁ + 1/v₂) = s(v₁ + v₂)/(2v₁v₂) ⟹ v_орт,₂ = 2v₁v₂/(v₁ + v₂).
Бұл — гармониялық орта.
3. Екеуін салыстырамыз. Кез келген оң v₁, v₂ үшін
(v₁ + v₂)/2 − 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = (v₁ − v₂)² / [2(v₁ + v₂)] ≥ 0.
Теңдік тек v₁ = v₂ болғанда. Демек v₁ ≠ v₂ болса v_орт,₁ > v_орт,₂, яғни бірінші жүргіншінің орташа жылдамдығы артық.
Сандық мысал. v₁ = 6 км/сағ, v₂ = 3 км/сағ, s = 12 км:
бірінші — v_орт = 4,5 км/сағ, t = 2 сағ 40 мин;
екінші — v_орт = 4 км/сағ, t′ = 3 сағ. Айырмасы 20 мин.Себебі неде? Екінші жүргінші баяу жылдамдықта көбірек уақыт өткізеді (тең жолға көп уақыт кетеді), ал бірінші жүргінші жылдам және баяу режимдерде бірдей уақыт жүреді.
Жауабы. v₁ ≠ v₂ болса, бірінші жаяу жүргінші B пунктіне ертерек жетеді; v₁ = v₂ болса — бір мезгілде.
-
23
Алматы — Талғар — Алматы: желді ме, тымық па? #
Велосипедші Алматы — Талған — Алматы бағытымен жүреді. Велосипедші қандай ауа райында (желді ме, әлде тымық па) аз уақыт жұмсайды?
Жауабы
Тымық ауа райында аз уақыт жұмсайды
Толық шешуі
Берілгені. Бір бағыттағы қашықтық s; велосипедшінің ауаға қатысты жылдамдығы u (екі бағытта да бірдей күш жұмсайды деп аламыз); желдің жылдамдығы v, ол маршрут бойымен соғады.
Табу керек. Қай жағдайда толық уақыт аз.
Идея. Бұл — 20-есептің дәл көшірмесі: ағыстың орнында жел тұр. Желмен жүргендегі ұтыс желге қарсы жүргендегі жоғалтуды ешқашан өтемейді, себебі баяу бөлікте көбірек уақыт өткізіледі.
Шешуі.
1. Тымық ауа райы (v = 0):
t₀ = 2s / u.
2. Желді ауа райы. Бір жақта жылдамдық u + v, екінші жақта u − v (жүре алуы үшін v < u):
t = s/(u + v) + s/(u − v) = 2su / (u² − v²).
3. Қатынасы:
t / t₀ = u² / (u² − v²) > 1 (кез келген v > 0 үшін).
Сандық мысал. u = 20 км/сағ, s = 20 км. Тымықта: t₀ = 2 сағ. Жел v = 10 км/сағ болса: 20/30 + 20/10 = 0,67 + 2 = 2,67 сағ, яғни 40 мин артық.
Физикалық түсінік. Желмен жүргенде велосипедші аз уақыт жылдам жүреді, ал желге қарсы көп уақыт баяу жүреді. Уақыт бойынша салмақталғанда баяу режим әрқашан басым түседі.
Жауабы. Велосипедші тымық ауа райында аз уақыт жұмсайды.
-
24
Екі сүңгуір қайық және гидролокатор сигналы #
Екі сүңгуір қайық бір-бірінің артынан l қашықтықта бірдей v жылдамдықпен жүзіп келеді. Артқы қайықтан жіберілген гидролокатор сигналы алдыңғы қайыққа жетіп, одан шағылып, кері қайтады. Сигнал жіберілгеннен кейін қанша уақыттан соң шағылған сигнал қабылданатынын анықтаңдар. Судағы дыбыстың жылдамдығы u.
Жауабы
t = 2lu / (u² − v²)
Толық шешуі
Берілгені. l — қайықтар арасы; v — екі қайықтың да жылдамдығы; u — дыбыстың судағы жылдамдығы (суға қатысты), u > v.
Табу керек. t — сигналдың барып-қайту уақыты.
Идея. Дыбыс суға қатысты u жылдамдықпен таралады — оның жылдамдығы көзінің қозғалысына тәуелді емес. Ал қайықтар қозғалып тұр, сондықтан әр бағытта салыстырмалы жылдамдық басқаша. Қайықтардың жылдамдықтары бірдей болғандықтан олардың арақашықтығы l өзгермейді.
Шешуі.
1. Алға (қуып жету). Сигнал u жылдамдықпен ұшады, алдыңғы қайық одан v жылдамдықпен қашады. Жақындау жылдамдығы u − v, бастапқы алшақтық l:
t₁ = l / (u − v).
2. Кері (қарсы қозғалыс). Шағылу сәтінде қайықтардың арасы әлі де l (екеуі бірдей жылдамдықпен жүзеді). Шағылған сигнал артқа u жылдамдықпен ұшады, ал артқы қайық оған қарсы v жылдамдықпен келеді:
t₂ = l / (u + v).
3. Толық уақыт:
t = t₁ + t₂ = l/(u − v) + l/(u + v) = l·[(u + v) + (u − v)] / (u² − v²) = 2lu / (u² − v²).
Талдау. Қайықтар тоқтап тұрса (v = 0) уақыт 2l/u болар еді. Қозғалыс уақытты ұзартады: t/t₀ = u²/(u² − v²) > 1. Бұл — 20- және 23-есептердегі дәл сол теңсіздік.
Жауабы. t = 2lu / (u² − v²).
-
25
Эскалатормен жүгіріп түскен екі бала: баспалдақтарды санау #
Метроның қозғалып тұрған эскалаторымен ережені бұзып екі бала төмен қарай жүгіріп түседі: біреуі u жылдамдықпен, екіншісі одан n есе үлкен жылдамдықпен. Біріншісі k₁ баспалдақ, екіншісі k₂ баспалдақ санады. Эскалатордың баспалдақтар саны N-ді және оның қозғалыс жылдамдығы v-ні анықтаңдар.
Жауабы
N = k₁k₂(n − 1)/(nk₁ − k₂); v = un(k₂ − k₁)/(nk₁ − k₂)
Толық шешуі
Берілгені. Балалардың эскалаторға қатысты жылдамдықтары u және nu; олар санаған баспалдақтар k₁ және k₂ (k₂ > k₁).
Табу керек. N — эскалатордың көрінетін бөлігіндегі баспалдақтар саны; v — эскалатордың жылдамдығы.
Идея (ең маңызды тұсы). Бала эскалаторға қатысты жылжыған жолында ғана жаңа баспалдақтарды басады. Эскалатормен бірге ығысқан бөлік санауға кірмейді. Сондықтан:
санаған баспалдақ = (эскалаторға қатысты жүрілген жол) × (бірлік ұзындықтағы баспалдақ саны).
Шешуі.
1. Эскалатордың ұзындығы l, баспалдақ тығыздығы N/l болсын. Бірінші баланың жердегі жылдамдығы v + u, түсу уақыты:
t₁ = l / (v + u).
Осы уақытта ол эскалатор бетімен u·t₁ = ul/(v + u) жол жүрді, демек
k₁ = [ul/(v + u)]·(N/l) = uN / (v + u). (1)
2. Екінші бала үшін дәл солай, u → nu:
k₂ = nuN / (v + nu). (2)
Эскалатордың l ұзындығы екі теңдеуден де шығып кетті — бұл есептің шешілетінінің белгісі.
3. (1)-ден: v + u = uN/k₁, демек N/k₁ = (v + u)/u = 1 + v/u.
(2)-ден: v + nu = nuN/k₂, демек N/k₂ = (v + nu)/(nu) = 1 + v/(nu).4. w = v/u деп белгілейік. Сонда N = k₁(1 + w) және N = k₂(1 + w/n). Теңестіреміз:
k₁(1 + w) = k₂(1 + w/n) ⟹ k₁ + k₁w = k₂ + k₂w/n.
w(k₁ − k₂/n) = k₂ − k₁ ⟹ w = n(k₂ − k₁) / (nk₁ − k₂).
v = u·n(k₂ − k₁) / (nk₁ − k₂).
5. Енді N:
N = k₁(1 + w) = k₁ · [ (nk₁ − k₂) + n(k₂ − k₁) ] / (nk₁ − k₂) = k₁k₂(n − 1) / (nk₁ − k₂).
Сандық тексеру. u = 1, v = 1, N = 100, n = 2 алсақ: k₁ = 100/2 = 50, k₂ = 200/3 ≈ 66,7.
Формулалар: v = 1·2·(66,7 − 50)/(100 − 66,7) = 33,3/33,3 = 1 ✓; N = 50·66,7·1/33,3 = 100 ✓Ескерту. Кейбір жинақтарда жылдамдық v = u(k₂ − k₁n)/(nk₁ − k₂) түрінде берілген — алымда n көбейткіші жақшаның ішінде тұр. Жоғарыдағы сандық тексеруде ол −u береді, яғни бұл — теру қатесі. Дұрысы: v = un(k₂ − k₁)/(nk₁ − k₂).
Жауабы. N = k₁k₂(n − 1)/(nk₁ − k₂); v = un(k₂ − k₁)/(nk₁ − k₂).
-
26
Төмен түсетін эскалатормен жоғары жүгіру #
Метро эскалаторы төмен қарай жүгіріп бара жатқан адамды t₁ = 1 мин ішінде түсіреді. Егер адам төмен қозғалып тұрған эскалатормен жоғары қарай t₂ = 4 мин ішінде жүгіріп шығатын болса, эскалаторда қозғалмай тұрған адам қанша уақытта төмен түседі?
Жауабы
t₃ = 2t₁t₂/(t₂ − t₁) ≈ 2,7 мин
Толық шешуі
Берілгені. t₁ = 1 мин — эскалатормен бірге төмен жүгіру уақыты; t₂ = 4 мин — сол эскалатормен жоғары жүгіру уақыты.
Табу керек. t₃ — қозғалмай тұрған адамның түсу уақыты.
Идея. Үш жағдайда да эскалатордың ұзындығы l бірдей. Екі теңдеуден адамның өз жылдамдығын шығарып тастап, эскалатордың жылдамдығын табамыз.
Шешуі.
1. Эскалатордың жылдамдығы v (төмен), адамның эскалаторға қатысты жылдамдығы u.
Төмен жүгіру — жылдамдықтар қосылады:
l = (v + u)·t₁. (1)
Жоғары жүгіру — адам эскалаторға қарсы жүреді, жердегі жылдамдығы u − v (жоғары шыға алуы үшін u > v):
l = (u − v)·t₂. (2)
2. Екеуінен:
v + u = l/t₁, u − v = l/t₂.
Біріншісінен екіншісін азайтамыз — u қысқарады:
2v = l/t₁ − l/t₂ = l(t₂ − t₁)/(t₁t₂) ⟹ v = l(t₂ − t₁) / (2t₁t₂).
3. Қозғалмай тұрған адам үшін:
t₃ = l / v = 2t₁t₂ / (t₂ − t₁) = 2·1·4 / (4 − 1) = 8/3 ≈ 2,7 мин.
Тексеру. l = 8 бірлік алсақ: v = 8·3/(2·1·4) = 3 бірлік/мин, u = l/t₁ − v = 8 − 3 = 5 бірлік/мин. Жоғары: (5 − 3)·4 = 8 ✓ Қозғалмай: 8/3 ≈ 2,7 мин ✓
Ескерту. Формуланың бөлімі — t₂ − t₁, керісінше емес: жоғары жүгіру әрқашан ұзағырақ (t₂ > t₁), сондықтан айырма оң болуы керек.
Жауабы. t₃ = 2t₁t₂/(t₂ − t₁) = 8/3 ≈ 2,7 мин (2 мин 40 с).
-
27
Неліктен қозғалтқыш сөндірулі қайықтың рулі жұмыс істемейді? #
Өзен ағысымен төмен қарай жүзіп келе жатқан моторлы қайықты оның артқы бөлігіне орнатылған рульмен басқару оңай. Неліктен қозғалтқыш сөндірулі болғанда қайықты бұлай басқару мүмкін емес?
Жауабы
Қайық суға қатысты қозғалмайды, сондықтан руль ағынмен әрекеттеспейді
Толық шешуі
Берілгені. Қайық өзен ағысымен төмен қарай жүзіп келеді; қозғалтқыш қосулы немесе сөндірулі.
Табу керек. Рульдің жұмысын физикалық тұрғыдан түсіндіру.
Идея. Руль — жерге қатысты жылдамдыққа емес, суға қатысты жылдамдыққа ғана жауап береді. Күш пайда болу үшін суға қатысты қозғалыс қажет.
Шешуі.
1. Қозғалтқыш сөндірулі. Қайық тек ағыспен бірге ағады, яғни судың жылдамдығына тең жылдамдықпен қозғалады. Суға байланысқан санақ жүйесінде қайық та, руль де қозғалмай тұр. Су рульдің бетіне қатысты ақпағандықтан, ол рульге қысым күшін түсірмейді. Рульді қанша бұрсаң да, айналдырушы күш те, момент те пайда болмайды — қайықты басқару мүмкін емес.
Жерге қатысты қайықтың жылдамдығы нөлден өзгеше екені мұнда маңызды емес: гидродинамикалық күш салыстырмалы жылдамдыққа тәуелді (шамамен ρSv_сал²-қа пропорционал).
2. Қозғалтқыш қосулы. Бұранда суды артқа лақтырады. Біріншіден, қайық суға қатысты алға жылжиды; екіншіден, рульге бұранда тудырған қуатты су ағыны келіп соғылады. Енді v_сал ≠ 0, сондықтан бұрылған руль ағынды бүйірге бұрып, өзіне қарсы күш алады. Оның қайықтың ауырлық центріне қатысты моменті қайықты бұрады.
Практикалық қорытынды. Тәжірибелі қайықшылар ағыспен ағып бара жатқанда да қайықты басқару үшін қозғалтқышты қысқа мерзімге қосады немесе ескекпен қалақ салады — яғни суға қатысты қозғалыс тудырады. Дәл сол себептен желкенді қайық та тоқтап қалғанда басқарылмайды.
Жауабы. Қозғалтқыш сөндірулі кезде қайық суға қатысты қозғалмайды, сондықтан су рульге күш түсірмейді және руль қайықты бұра алмайды.
-
28
Қарсы келе жатқан пойыз екі электр пойызын кездестіреді #
Астанадан Ерейментауға қарай t₁ = 10 мин аралықпен v = 30 км/сағ жылдамдықпен екі электр пойызы жолға шықты. Қарсы келе жатқан пойыз бұл электр пойыздарын бірінен кейін бірін t₂ = 4 мин аралықпен кездестірсе, оның жылдамдығы қандай?
Жауабы
v₁ = v(t₁ − t₂)/t₂ = 45 км/сағ
Толық шешуі
Берілгені. t₁ = 10 мин = 1/6 сағ — электр пойыздардың шығу аралығы; v = 30 км/сағ — олардың жылдамдығы; t₂ = 4 мин = 1/15 сағ — қарсы пойыздың оларды кездестіру аралығы.
Табу керек. v₁ — қарсы пойыздың жылдамдығы.
Идея. Екі электр пойызының арасындағы қашықтық жолда тұрақты: екіншісі шыққанда біріншісі v·t₁ қашықтықты жүріп үлгерген. Қарсы пойыз осы алшақтықты (v + v₁) жылдамдықпен жабады.
Шешуі.
1. Электр пойыздар арасындағы қашықтық:
L = v·t₁ = 30 · (1/6) = 5 км.
2. Қарсы пойыз бірінші электр пойызды кездестіргеннен кейін екіншісіне дейін нақ осы L қашықтықты жабуы керек, ал жақындау жылдамдығы v + v₁:
L = (v + v₁)·t₂ ⟹ v·t₁ = (v + v₁)·t₂.
3. Осыдан:
v₁ = v·(t₁ − t₂) / t₂ = 30 · (10 − 4)/4 = 30 · 1,5 = 45 км/сағ.
Тексеру. v + v₁ = 75 км/сағ; 5 км ÷ 75 км/сағ = 1/15 сағ = 4 мин ✓
Талдау. Формуладан t₂ < t₁ болса ғана v₁ > 0 екені көрінеді: қарсы пойыз электр пойыздарды әрқашан жиірек кездестіреді. Ал t₂ = t₁ болса v₁ = 0 — «қарсы пойыз» орнында тұрған болады.
Жауабы. v₁ = v(t₁ − t₂)/t₂ = 45 км/сағ.
-
29
Торпедалық катер: торпедалар кемеге тие ме? #
Торпедалық катер A нүктесінде тұрып (1-сурет), жіберу сәтінде B нүктесінен өтіп бара жатқан кемеге екі торпеда атады. Торпедалар мен кеменің суға қатысты жылдамдықтары тұрақты: кеме B-дан D бағытына қарай v = 40 км/сағ жылдамдықпен жүзеді, I торпеда C нүктесіне қарай v₁ = 40 км/сағ, ал II торпеда D нүктесіне қарай v₂ = 60 км/сағ жылдамдықпен ұшады. Суреттегі бір тор — 1 км. Циркуль мен сызғышты пайдаланып, торпедалардың кемеге тиетін-тимейтінін анықтаңдар.
1-сурет. Катер A нүктесінде, кеме жіберу сәтінде B нүктесінде. Бір тор — 1 км. Жауабы
I торпеда тиеді (7,5 мин-тан кейін); II торпеда тимейді — D нүктесіне кемеден 9 мин бұрын жетеді
Толық шешуі
Берілгені. v = 40 км/сағ, v₁ = 40 км/сағ, v₂ = 60 км/сағ. Тор бойынша координаталары: B(0; 0), A(8; 0), C(4; 3), D(8; 6), өлшем бірлігі — км.
Табу керек. Әр торпеданың кемеге тиетін-тимейтінін.
Идея. Торпеда кемеге тиеді, егер ол нысана нүктесіне кемемен дәл бір мезгілде жетсе. Демек екі уақытты салыстыру жеткілікті: торпеданың A-дан нысанаға жету уақыты және кеменің B-дан сол нүктеге жету уақыты. Қашықтықтарды сызғышпен өлшейміз (немесе тор бойынша Пифагор теоремасымен санаймыз).
1. Қашықтықтар:
AC = √((8−4)² + 3²) = √25 = 5 км, BC = √(4² + 3²) = 5 км,
AD = 6 км, BD = √(8² + 6²) = 10 км.
2. I торпеда (нысана — C нүктесі):
t_торп = AC/v₁ = 5/40 = 0,125 сағ = 7,5 мин,
t_кеме = BC/v = 5/40 = 0,125 сағ = 7,5 мин.
Уақыттар тең — торпеда мен кеме C нүктесінде кездеседі. Торпеда тиеді.
3. II торпеда (нысана — D нүктесі):
t_торп = AD/v₂ = 6/60 = 0,1 сағ = 6 мин,
t_кеме = BD/v = 10/40 = 0,25 сағ = 15 мин.
Торпеда D нүктесіне кемеден 9 минут бұрын жетеді, яғни кеменің алдынан өтіп кетеді. Торпеда тимейді.
Жалпы шарт. Нысана P нүктесі үшін тию шарты бір ғана теңдікпен жазылады:
AP / v_торпеда = BP / v_кеме.
Ескерту. Түпнұсқа жинақта жылдамдықтар тек сызбадағы векторлармен берілген — оларды сызғышпен өлшеп алу керек. Мұнда есеп өзіне-өзі жеткілікті болуы үшін жылдамдықтар сан түрінде жазылды; шешу әдісі мен жауабы өзгерген жоқ.
Жауабы. I торпеда кемеге тиеді (жіберілгеннен 7,5 мин өткенде, C нүктесінде); II торпеда тимейді.
-
30
Төрт түрлі ағаш кубиктен құралған куб #
Куб бірдей көлемді, жақсы жанастырылған көптеген ағаш кубиктерден құралған. Кубиктер әртүрлі ағаштан жасалған: тығын ағашы (ρ₁ = 200 кг/м³), емен (ρ₂ = 700 кг/м³), кедр (ρ₃ = 550 кг/м³) және қара ағаш (ρ₄ = 1200 кг/м³). Осы материалдардан жасалған кубиктердің сандары 3 : 4 : 2 : 1 қатынасында болса, кубтың орташа тығыздығы қандай?
Жауабы
ρ = 0,1(3ρ₁ + 4ρ₂ + 2ρ₃ + ρ₄) = 570 кг/м³
Толық шешуі
Берілгені. ρ₁ = 200 кг/м³, ρ₂ = 700 кг/м³, ρ₃ = 550 кг/м³, ρ₄ = 1200 кг/м³; N₁ : N₂ : N₃ : N₄ = 3 : 4 : 2 : 1.
Табу керек. ρ — кубтың орташа тығыздығы.
Идея. Орташа тығыздық — әрқашан толық массаның толық көлемге қатынасы. Барлық кубиктердің көлемі бірдей болғандықтан, нәтиже тығыздықтардың сандарымен салмақталған ортасы болып шығады.
1. Кубиктердің сандарын 3n, 4n, 2n, n деп жазамыз, әрқайсысының көлемі V. Толық көлем:
V_толық = (3n + 4n + 2n + n)·V = 10nV.
2. Толық масса:
m = V(3nρ₁ + 4nρ₂ + 2nρ₃ + nρ₄) = nV(3ρ₁ + 4ρ₂ + 2ρ₃ + ρ₄).
3. Орташа тығыздық (nV қысқарады):
ρ = m / V_толық = (3ρ₁ + 4ρ₂ + 2ρ₃ + ρ₄)/10 = 0,1(3ρ₁ + 4ρ₂ + 2ρ₃ + ρ₄).
4. Сандарды қоямыз:
ρ = 0,1(600 + 2800 + 1100 + 1200) = 0,1 · 5700 = 570 кг/м³.
Талдау. Тығыздықтардың жай арифметикалық ортасы (200 + 700 + 550 + 1200)/4 = 662,5 кг/м³ болар еді — бұл дұрыс емес: жеңіл ағаштардың үлесі көбірек, сондықтан нәтиже төмен шығады. Кубтың неше кубиктен тұратынын білудің қажеті жоқ — тек қатынас маңызды.
Жауабы. ρ = 570 кг/м³.
-
31
Платформадан салбыраған арқалық: күштің шекаралары #
Ұзындығы L = 6 м біртекті арқалықтың бір бөлігі (l = 1 м) көлденең платформада жатыр, қалған бөлігі платформадан салбырап тұр (2-сурет). Салбыраған бөліктің ұшына жоғары бағытталған F күші түсірілген. Арқалық көлденең қалпында тек күштің мәні F_min-нен F_max-қа дейінгі аралықта болғанда ғана қалады. Арқалықтың қалыңдығы оның ұзындығынан әлдеқайда аз болса, F_max/F_min қатынасын табыңдар.
2-сурет. Арқалықтың l бөлігі платформада, ұшына F күші түсірілген. Жауабы
F_max/F_min = (L − l)/(L − 2l) = 1,25
Толық шешуі
Берілгені. L = 6 м, l = 1 м; арқалық біртекті, массасы m; F — салбыраған ұшқа жоғары бағытталған.
Табу керек. F_max/F_min.
Идея. Арқалық өз бетінше тұра алмайды: платформада небәрі 1 м жатыр, ал ауырлық центрі (арқалықтың ортасы, ұшынан 3 м) платформадан тыс. Сондықтан F күші міндетті түрде қажет. Екі шектік жағдай бар:
- F тым аз болса — арқалық платформаның шетінен асып төңкеріледі;
- F тым үлкен болса — арқалықтың сол (платформадағы) ұшы көтеріліп, ол платформадан ұшып кетеді.
Дәл осы екі шекте платформаның тіреу реакциясы бір ғана нүктеге жиналады — сондықтан моменттер ережесін жазу жеткілікті.
1. F_min. Мұнда реакция платформаның шетіне (l нүктесіне) жиналады. Сол нүктеге қатысты моменттерді теңестіреміз — F күші (L − l) иінінде, ал салмақ (L/2 − l) иінінде:
F_min·(L − l) = mg·(L/2 − l).
2. F_max. Мұнда реакция арқалықтың сол ұшына жиналады. Сол ұшқа қатысты моменттер (F күшінің иіні L, салмақтікі L/2):
F_max·L = mg·(L/2).
3. Екеуін бөлеміз — m мен g қысқарады:
F_max/F_min = [ (L/2) / L ] · [ (L − l) / (L/2 − l) ] = (L − l)/(L − 2l).
4. Сандарды қоямыз:
F_max/F_min = (6 − 1)/(6 − 2) = 5/4 = 1,25.
Тексеру. F_min = mg(3 − 1)/5 = 0,4mg; F_max = mg/2 = 0,5mg; қатынасы 0,5/0,4 = 1,25 ✓
Талдау. Рұқсат етілген аралық өте тар: күш салмақтың небәрі 40 %-нан 50 %-на дейін өзгере алады. l = L/2 болса, бөлім нөлге айналады — арқалықтың дәл жартысы платформада жатса, ол F-сіз де тұра алады және жоғарғы шек шексіздікке ұмтылмайды: мұндайда есептің қойылымы өзгереді.
Жауабы. F_max/F_min = (L − l)/(L − 2l) = 1,25.
-
32
Екі роликпен «бекітілген» арқалыққа ілінетін ең ауыр жүк #
A және Б ролик-тіректері арқалықты көлденең қалыпта «бекітуге» мүмкіндік береді (3-сурет): A ролигі арқалықты жоғарыдан басады, Б ролигі оны астынан тіреп тұрады. Б ролигіне арқалық F₀-ден артық күшпен баспауы керек, әйтпесе ролик бұзылады. Арқалықтың ұшына ең үлкен қандай жүк іліп қоюға болады? Арқалықты қалай орналастыру керек? Арқалықтың массасы m, ұзындығы L, роликтердің көлденең арақашықтығы l.
3-сурет. A ролигі арқалықты жоғарыдан басады, Б ролигі астынан тірейді. Жауабы
M_max = F₀/g − m; Б ролигі жүк ілінген ұштан x = mL/(2(m + M)) қашықтықта болуы керек
Толық шешуі
Берілгені. Арқалықтың массасы m, ұзындығы L; роликтердің арақашықтығы l; Б ролигіне рұқсат етілген ең үлкен күш F₀.
Табу керек. M_max және арқалықтың орналасуы.
Идея. Б ролигіне түсетін күшті азайту керек. Оны вертикаль бойынша тепе-теңдіктен көреміз: Б ролигі жүйені жоғары қарай тіреп тұр, ал төмен тартатындар — арқалық пен жүктің салмағы және A ролигінің қысымы.
1. Вертикаль бойынша тепе-теңдік:
R_Б = (m + M)g + R_A.
2. R_Б ең кіші болуы үшін R_A мүмкіндігінше аз, шектік жағдайда R_A = 0 болуы керек. Сонда
R_Б = (m + M)g ≤ F₀ ⟹ M_max = F₀/g − m.
3. Бірақ R_A = 0 болса, арқалық тек Б ролигінде тұрады — демек ол Б нүктесіне қатысты өздігінен тепе-теңдікте болуы керек. Жүк ілінген ұштан Б-ға дейінгі қашықтықты x деп алсақ, арқалықтың ауырлық центрі Б-дан екінші жақта, (L/2 − x) қашықтықта жатады:
Mg·x = mg·(L/2 − x).
4. Осыдан:
x(M + m) = mL/2 ⟹ x = mL / (2(m + M)).
Талдау. Жауап роликтердің арақашықтығы l-ге тәуелді емес: A ролигі күш түсірмейтіндіктен, оның қай жерде тұрғаны маңызды емес. Мұндағы A ролигі — тек «сақтандырғыш»: жүк сәл ауырлап кетсе, арқалық аударылмай, A-ға тіреледі.
Шектік жағдайларды тексерейік. Жүк өте жеңіл болса (M → 0), x → L/2 — арқалық ортасымен Б ролигінде тұрады, бұл дұрыс. Жүк өте ауыр болса (M ≫ m), x → 0 — тіреуді жүкке барынша жақын қою керек.
Жауабы. M_max = F₀/g − m; Б ролигі жүк ілінген ұштан x = mL/(2(m + M)) қашықтықта орналасуы керек.
-
33
Итергішті құбыр бойымен өткізу: үйкеліс шарты #
Көлденең құбырдың ішінде итергіш A сырғи алады (4-сурет). Құбырды төменгі ұшы дөңгелектелген Б өзегі бөгеп тұр. Өзек негізгі құбырдан тарайтын тегіс (үйкеліссіз) тік тармақтың бойымен еркін қозғала алады. Итергіштің алдыңғы көлбеу беті құбыр осімен α бұрыш жасайды. Итергішті құбыр бойымен өткізіп жіберу үшін оның беті мен өзектің арасындағы үйкеліс коэффициенті қандай болуы керек?
4-сурет. Итергіш A, бөгеуіш өзек Б; көлбеу беттің бұрышы α. Жауабы
μ < ctg α
Толық шешуі
Берілгені. Итергіштің алдыңғы бетінің құбыр осімен жасайтын бұрышы α; тік тармақ тегіс; өзектің төменгі ұшы дөңгелектелген.
Табу керек. Итергіш өтетіндей μ мәндері.
Идея. Итергіш өту үшін оның көлбеу беті өзекті жоғары көтеруі керек. Өзекке көлбеу беттен екі күш әсер етеді: бетке перпендикуляр N реакциясы және бет бойымен бағытталған үйкеліс күші μN. Біріншісі өзекті көтереді, екіншісі көтерілуге кедергі жасайды — соларды салыстырамыз.
1. Көтеретін күш. Бет осьпен α бұрыш жасағандықтан, оған перпендикуляр N күші тіктен α бұрышқа ауытқыған. Оның тік (көтеретін) құраушысы:
N_тік = N·cos α.
2. Кедергі күші. Өзек бет бойымен жоғары сырғығанда, үйкеліс күші бет бойымен төмен бағытталады. Оның модулі μN, ал тік құраушысы:
F_тік = μN·sin α.
3. Өзек көтерілуі үшін көтеретін құраушы кедергіден үлкен болуы керек:
N cos α > μN sin α ⟹ cos α > μ sin α ⟹ μ < ctg α.
Талдау. Мұнда ең қызығы — N күші жауапқа кірмейді. Себебі итергішті қаттырақ итеру арқылы N-ді қалағанша үлкен етуге болады, ал көтеретін де, кедергі жасайтын да күштер N-ге бірдей пропорционал. Сол себептен өзектің салмағы да елеусіз: жеткілікті үлкен N кез келген салмақты жеңеді.
Демек шешім тек екі шамаға тәуелді: бұрыш пен үйкеліс. Бет қаншалықты жатық болса (α кіші), ctg α соғұрлым үлкен және өткізу соғұрлым оңай; α → 90° (тік бет) болғанда ctg α → 0 — мұндай итергіш өзекті мүлде көтере алмайды, себебі бетте көтеретін құраушы жоқ.
Жауабы. μ < ctg α.
-
34
Үш топсалы өзек: CD-ны көлденең ұстайтын ең кіші күш #
Үш бірдей салмақсыз өзек топсалар арқылы жалғанып, бір көлденеңде жатқан A және B нүктелеріне бекітілген (5-сурет). AB қашықтығы өзектің ұзындығынан екі есе артық. C топсасына массасы M жүк ілінген. CD өзегі көлденең болуы үшін D топсасына ең кіші қандай күш түсіру керек?
5-сурет. AC, CD, DB өзектері топсалармен жалғанған; C топсасында M жүгі. Жауабы
F_min = Mg/2, BD өзегіне перпендикуляр бағытта
Толық шешуі
Берілгені. Үш өзектің әрқайсысының ұзындығы l; AB = 2l; C топсасында массасы M жүк; өзектер салмақсыз.
Табу керек. F_min және оның бағыты.
Идея. Ұштарында тек топса бар салмақсыз өзек күшті тек өз бойымен бере алады (созылу немесе сығылу). Демек әр топсадағы өзек күштерінің бағыты белгілі, тек модульдері белгісіз. Белгісіз күштен құтылудың ыңғайлы тәсілі — теңдеуді сол күшке перпендикуляр өске проекциялау: сонда ол өрнекке мүлде кірмейді.
1. Геометрия. CD көлденең, AC = CD = DB = l және AB = 2l болғандықтан C пен D нүктелері A мен B-дан l/2-ге ішке ығысқан. Сонда AC өзегі көлденеңмен
cos θ = (l/2)/l = 1/2 ⟹ θ = 60°
бұрыш жасайды. Симметрия бойынша DB өзегі де көлденеңмен 60° жасайды.
2. C топсасы. Оған үш күш әсер етеді: жүктің тартуы Mg (тік төмен), AC өзегінің күші (AC бойымен) және CD өзегінің күші F_CD (көлденең). Теңдеуді AC-ға перпендикуляр өске проекциялаймыз — AC өзегінің белгісіз күші жоғалады:
F_CD·sin 60° = Mg·cos 60° ⟹ F_CD = Mg·ctg 60° = Mg/√3.
3. D топсасы. Оған CD өзегінің күші (көлденең, модулі Mg/√3), DB өзегінің күші (DB бойымен) және ізделінді F күші әсер етеді. Енді теңдеуді DB-ға перпендикуляр өске проекциялаймыз — DB өзегінің белгісіз күші жоғалады:
F_⊥ = F_CD·sin 60° = (Mg/√3)·(√3/2) = Mg/2.
4. Бұл — F күшінің DB-ға перпендикуляр құраушысы; тепе-теңдік үшін ол дәл осындай болуға міндетті. Ал кез келген вектордың модулі өзінің кез келген құраушысынан кіші бола алмайды:
F ≥ F_⊥ = Mg/2, демек F_min = Mg/2.
Теңдік тек F толығымен осы перпендикуляр бағытта жатқанда орындалады, яғни ең тиімді бағыт — BD өзегіне перпендикуляр.
Талдау. Есептің әдістемелік мәні осында: «ең кіші күш» деген сұрақ кездессе, әдетте күштің міндетті құраушысын тауып, қалғанын нөлге теңестіру керек. Бұл — вектордың модулі құраушысынан кем болмайтынының тікелей салдары.
Жауабы. F_min = Mg/2, BD өзегіне перпендикуляр бағытта.
-
35
Құдықтағы бағана: трамвай сымының керілуі #
Трамвай желісінің сымын керу үшін оның ұшын бағанаға бекіткен (6-сурет). Бағананың басындағы блоктар жүйесі сымның керілу күшін ілінген жүктің салмағынан төрт есе арттырады; жүктің массасы m = 100 кг. Бағана бетон цилиндр құдықта тұр және құдықтың түбіндегі A нүктесінде, жер бетіндегі B нүктесінде ғана тіреледі. Бағанаға A және B нүктелерінде әсер ететін күштерді анықтаңдар. Сым бекітілген нүктенің B-дан биіктігі H = 10 м, құдықтың тереңдігі AB = 1,5 м.
6-сурет. Бағана бетон құдықта A және B нүктелерінде ғана тіреледі. Жауабы
F = 4mg ≈ 3,9 кН; F_A = F·H/AB ≈ 26 кН; F_B = F(1 + H/AB) ≈ 30 кН
Толық шешуі
Берілгені. m = 100 кг; H = 10 м; AB = 1,5 м; блоктар жүйесінің ұтысы — 4 есе; g ≈ 9,8 м/с².
Табу керек. F_A, F_B.
Идея. Бағана — үш көлденең күштің әсеріндегі қатты дене: жоғарыда сымның тартуы F, ал құдық қабырғасының B және A нүктелеріндегі реакциялары. Бағана қозғалмайды, демек күштердің қосындысы да, кез келген нүктеге қатысты моменттердің қосындысы да нөлге тең. Белгісіз күштен құтылу үшін момент осін сол күштің түсу нүктесінен өткіземіз.
1. Сымның керілу күші. Блоктар жүйесі төрт еселік ұтыс беретіндіктен:
F = 4mg = 4 · 100 · 9,8 = 3920 Н ≈ 3,9 кН.
2. A нүктесіне қатысты моменттер (F_A-ның иіні нөл, сондықтан ол теңдеуге кірмейді). F күшінің A-дан биіктігі H + AB, F_B күшінікі — AB:
F·(H + AB) = F_B·AB ⟹ F_B = F·(1 + H/AB).
F_B = 3920 · (1 + 10/1,5) ≈ 3,0·10⁴ Н = 30 кН.
3. B нүктесіне қатысты моменттер (енді F_B кірмейді):
F·H = F_A·AB ⟹ F_A = F·H/AB = 3920 · 10/1,5 ≈ 2,6·10⁴ Н = 26 кН.
Тексеру. Көлденең бағыттағы күштердің қосындысы нөлге тең болуы керек: F_B = F_A + F, яғни 26 + 3,9 ≈ 30 кН ✓
Талдау. Құдық таяз (AB = 1,5 м), ал иін ұзын (H = 10 м) — сондықтан бағана құдық қабырғасына сымның тартуынан жеті есеге жуық артық күшпен басады. Иін қатынасы H/AB қаншалықты үлкен болса, тіректегі күш соғұрлым артады. Дәл осы себептен тірек құрылымдарын есептегенде тереңдік шешуші рөл атқарады: құдықты екі есе тереңдетсе, қабырғаға түсетін күш екі есеге жуық азаяды.
Жауабы. F_A ≈ 26 кН; F_B ≈ 30 кН.
-
36
Маляр өзі тұрған алаңқайды көтереді #
Маляр өзі тұрған алаңқайды 7-суреттегі блоктар жүйесімен ұстап тұр. Малярдың массасы M = 60 кг, алаңқайдың массасы m = 30 кг. Маляр арқанды қандай күшпен тартуы керек? Ол алаңқайға қандай күшпен басады? Маляр ең үлкен қандай массалы алаңқайды ұстап тұра алады?
7-сурет. Маляр алаңқайда тұрып, арқанның ұшынан тартады. Жауабы
F = (M + m)g/4 ≈ 220,5 Н; алаңқайға 367,5 Н күшпен басады; m_max = 3M = 180 кг
Толық шешуі
Берілгені. M = 60 кг, m = 30 кг, g = 9,8 м/с².
Табу керек. F; малярдың алаңқайға түсіретін қысым күші N; m_max.
Идея. «Маляр + алаңқай» — бір жүйе деп қарастырамыз. Сонда малярдың алаңқайға түсіретін күші ішкі күш болып шығады да, теңдеуге мүлде кірмейді: тек арқан тармақтарының тартуы мен ауырлық күші қалады. Бұл — есептің ең қысқа жолы.
1. Арқан тармақтарын санаймыз. Бір арқанның бойындағы керілу барлық жерде бірдей — F. Жүйені жоғары тартатын төрт тармақ бар: төбедегі қозғалмайтын блок арқылы өтіп алаңқайға бекітілген тармақ, қозғалмалы блокты айналып өтетін екі тармақ және малярдың қолындағы тармақ.
2. «Маляр + алаңқай» жүйесінің тепе-теңдігі:
4F = (M + m)g ⟹ F = (M + m)g/4 = 90 · 9,8 / 4 = 220,5 Н.
3. Малярдың өзін бөлек қарастырамыз. Оған үш күш әсер етеді: ауырлық күші Mg (төмен), арқанның тартуы F (жоғары) және алаңқайдың тіреу күші N (жоғары):
N = Mg − F = 60 · 9,8 − 220,5 = 588 − 220,5 = 367,5 Н.
Ньютонның үшінші заңы бойынша маляр да алаңқайға дәл осындай, 367,5 Н күшпен басады — яғни өз салмағынан айтарлықтай аз.
4. Ең ауыр алаңқай. Маляр арқанды өз салмағынан артық күшпен тарта алмайды: әйтпесе ол алаңқайдан көтеріліп кетер еді. Формула түрінде бұл N ≥ 0 шарты:
F ≤ Mg ⟹ (M + m)g/4 ≤ Mg ⟹ M + m ≤ 4M,
m ≤ 3M = 3 · 60 = 180 кг.
Талдау. Шектеу малярдың бұлшық ет күшінде емес, салмағында: қаттырақ тарту үшін оның алаңқайға тірелуі керек еді, ал N нөлге жеткенде тірелетін ештеңе қалмайды. Дәл сол себептен мұндай жүйеде жеңіл адам ауыр алаңқайды көтере алмайды, қанша күшті болса да.
Жауабы. F = 220,5 Н; маляр алаңқайға 367,5 Н күшпен басады; ең үлкен алаңқай массасы m_max = 3M = 180 кг.
-
37
Құмда жүргенде шинадағы қысымды неге азайтады? #
Құм үстімен жүргенде автомобиль шиналарындағы ауа қысымын азайтуға кеңес береді. Не үшін?
Жауабы
Қысым азайғанда жанасу ауданы артады, құмға түсетін қысым кемиді, сондықтан іздің тереңдігі азаяды
Толық шешуі
Берілгені. Автомобиль құм үстінде жүреді; шиналарындағы ауа қысымын азайтады.
Табу керек. Мұның физикалық себебін түсіндіру.
Идея. Есепте екі түрлі «қысым» кездеседі, оларды шатастырмау керек: шинаның ішіндегі ауа қысымы және шинаның құмға түсіретін қысымы. Олар тең емес, бірақ тығыз байланысты.
1. Шинаның қабығы жұмсақ, сондықтан жермен жанасқан бетте ол ішкі ауа қысымына жуық қысым береді. Доңғалаққа түсетін салмақ P өзгермейді, демек
p ≈ P/S ⟹ S ≈ P/p,
мұндағы S — жанасу ауданы. Яғни аудан ішкі қысымға кері пропорционал.
2. Ішкі қысым p азайғанда шина көбірек жаншылады және жермен жанасу ауданы S артады.
3. Автомобильдің салмағы сол күйінде қалып, аудан артқандықтан, құмға түсетін қысым азаяды.
4. Құм — сусымалы орта: оның шөгу тереңдігі түсірілген қысымға тәуелді. Қысым азайса, доңғалақ аз батады, іздің тереңдігі кемиді, сондықтан автомобиль құмға «отырып» қалмайды және қозғалысқа кететін кедергі де азаяды.
Талдау. Дәл осы себептен шөл далада, батпақта және қарда жүретін техникаға кең әрі жұмсақ шиналар орнатады, ал шынжыр табанды машиналар салмағын бүкіл шынжыр ауданына таратады. Керісінше, қатты асфальтта қысымды жоғары ұстаған тиімді: жанасу ауданы кішірейіп, домалау кедергісі азаяды.
Жауабы. Ішкі қысым азайғанда шинаның жермен жанасу ауданы артады, сондықтан құмға түсетін қысым кемиді де, іздің тереңдігі азаяды.
-
38
Үш аяқты үстел: центрден ығысқан жүк #
Радиусы R жеңіл дөңгелек үстел үш аяғымен көлденең еденде тұр (8-сурет). Үстелдің үстіне массасы M ауыр жүк қойылды: ол үстелдің центрінен аяқтардың біреуіне қарай ½R қашықтыққа ығысқан. Үстел аяқтарының еденге түсіретін қысым күштерін анықтаңдар. Аяқтары тік және R радиусты шеңбер бойымен симметриялы орналасқан. Еден тегіс.
8-сурет. Жоғарыдан көрініс: жүк центрден 1-аяққа қарай ½R ығысқан. Жауабы
N₁ = ⅔Mg (жүкке жақын аяқ); N₂ = N₃ = ⅙Mg
Толық шешуі
Берілгені. Үстел үстінің радиусы R; үш аяғы 120° аралықпен орналасқан; жүк центрден ½R қашықтықта, 1-аяққа қарай ығысқан; үстелдің массасы ескерілмейді.
Табу керек. N₁, N₂, N₃.
Идея. Белгісіз үшеу, ал тік бағыттағы тепе-теңдік бір ғана теңдеу береді. Бірақ симметрия көмектеседі: жүк дәл 1-аяққа қарай ығысқандықтан, 2- және 3-аяқтар толық тең құқылы, демек N₂ = N₃. Қалған екі белгісізге екі теңдеу жеткілікті — тік бағыт және дұрыс таңдалған оське қатысты моменттер.
1. Тік бағыттағы тепе-теңдік:
N₁ + 2N₂ = Mg.
2. Момент осін таңдау — есептің кілті. 2- және 3-аяқтарды қосатын түзуді ось етіп аламыз: сол оське қатысты N₂ мен N₃-тің иіні нөл, сондықтан олар теңдеуге мүлде кірмейді.
Геометрия: 2- және 3-аяқтар центрден ½R қашықтықта жатқан түзудің бойында тұр (120° пен 240°-тің косинусы −½). Демек осы оське дейінгі қашықтықтар:
1-аяқ: R + ½R = 3⁄2·R, жүк: ½R + ½R = R.
3. Моменттер теңдеуі:
N₁ · (3⁄2)R = Mg · R ⟹ N₁ = (2/3)Mg.
4. Бірінші теңдеуден:
2N₂ = Mg − (2/3)Mg = (1/3)Mg ⟹ N₂ = N₃ = (1/6)Mg.
Тексеру. 2/3 + 1/6 + 1/6 = 1 ✓ — үш реакцияның қосындысы жүктің салмағына тең.
Талдау. Жүк центрде тұрса, үш аяқ та Mg/3-тен көтерер еді. ½R-ға ығысқанда жақын аяққа түсетін күш екі есе артып, алыс екеуіне түсетін күш екі есе азайды. Жалпы түрде, жүк центрден d қашықтықта болса, N₁ = Mg(d + ½R)/(3⁄2·R). Бұдан d = R болғанда, яғни жүк дәл 1-аяқтың үстіне қойылғанда, N₁ = Mg және N₂ = N₃ = 0 — бүкіл салмақты бір аяқ көтереді.
Жауабы. N₁ = (2/3)Mg; N₂ = N₃ = (1/6)Mg.
-
39
Мұз бен пенопласттан құралған куб: мұз ерігенде не өзгереді? #
Калориметрдегі суда екі жартыдан құралған куб жүзіп жүр. Төменгі жартысы — мұздан (ρ_м = 0,9ρ_с), жоғарғы жартысы — пенопласттан (ρ_п = 0,5ρ_с). Кубтың қыры d = 8 см. Мұз ерігеннен кейін пенопласт жартысы қандай тереңдікке батады? Сол кезде кубтың үсті мен калориметрдің түбі арасындағы қашықтық қаншаға өзгереді?
Жауабы
Пенопласт 2 см тереңдікке батады; кубтың үсті мен түптің арақашықтығы 0,4 см-ге кемиді (су деңгейі өзгермейді)
Толық шешуі
Берілгені. d = 8 см; ρм = 0,9ρс; ρп = 0,5ρс; әр жартының биіктігі d/2 = 4 см.
Табу керек. Пенопласттың бату тереңдігі және кубтың үсті мен түптің арақашықтығының өзгерісі.
Идея. Жүзу шарты — Архимед күші ауырлық күшіне тең, яғни ығыстырылған судың массасы дененің массасына тең. Есепті үш қадамға бөлеміз: еруге дейінгі күй, ерігеннен кейінгі күй және су деңгейінің өзгеруі.
1. Еруге дейін. Кубтың массасы:
m = (d³/2)ρ_м + (d³/2)ρ_п = (d³/2)(0,9 + 0,5)ρ_с = 0,7ρ_с d³.
Ығыстырылған су көлемі V = m/ρ_с = 0,7d³. Кубтың көлденең қимасы d², демек батқан тереңдік:
h₁ = 0,7d³/d² = 0,7d = 5,6 см, судан шығып тұрған бөлігі: d − h₁ = 0,3d = 2,4 см.
5,6 см > 4 см болғандықтан мұз жартысы толығымен су астында, оның үстіне пенопласттың 1,6 см бөлігі де батып тұр.
2. Ерігеннен кейін. Мұз суға айналып, калориметрдегі суға қосылады; жүзіп қалатыны — тек пенопласт жартысы, массасы (d³/2)·0,5ρс = 0,25ρс d³. Оның бату тереңдігі:
h₂ = 0,25d³/d² = 0,25d = 2 см, судан шығып тұрғаны: d/2 − h₂ = 4 − 2 = 2 см.
3. Су деңгейі өзгере ме? Еруге дейін дене 0,7d³ көлем су ығыстырған. Ерігеннен кейін мұздың суы 0,45d³ көлем алады (массасы 0,45ρ_с d³), ал пенопласт 0,25d³ ығыстырады; қосындысы 0,45 + 0,25 = 0,7d³ — дәл сол шама. Демек су деңгейі өзгермейді.
4. Арақашықтықтың өзгерісі. Кубтың үсті мен түптің арасы — түптен су бетіне дейінгі тұрақты тереңдік плюс судан шығып тұрған бөлік. Су деңгейі өзгермегендіктен, айырма тек екінші мүшеден шығады:
Δh = 2,4 − 2 = 0,4 см.
Талдау. Жүзіп жүрген мұз ерігенде су деңгейінің өзгермейтіні — белгілі нәтиже. Мұнда мұз құрама дененің бөлігі болса да, ол толығымен су астында тұрғандықтан, дәл сол қорытынды сақталады. Ал жалпы түрдегі өрнек:
Δh = (d/2)·(3/2 − (ρ_м + ρ_п)/ρ_с) = 4 · (1,5 − 1,4) = 0,4 см ✓
Жауабы. Пенопласт 2 см тереңдікке батады; кубтың үсті мен түптің арақашықтығы 0,4 см-ге кемиді.
-
40
Иінді таразы: ауада да, вакуумда да тепе-теңдік #
Қорғасын кесекті иінді таразыда өлшеу үшін алюминий гірлер пайдаланылды. Ауада теңестірілген таразыны вакуум-камераға қойғанда тепе-теңдік бұзылды. Ал гірлер мен кесекті орындарымен ауыстырғанда, керісінше, тепе-теңдік дәл вакуум-камерада сақталып, ауада бұзылатын болды. Таразы иіндерінің ұзындықтары бір-бірінен неше процентке өзгеше? Ауаның тығыздығын судың тығыздығының 1/800 бөлігіне тең деп алыңдар.
Жауабы
ε = ρ₀(ρ₁ − ρ₂)/(2ρ₁ρ₂) ≈ 1,8·10⁻⁴, яғни ≈ 0,018 %
Толық шешуі
Берілгені. ρ₀ = ρ_су/800 = 1000/800 = 1,25 кг/м³ — ауаның тығыздығы; ρ₁ = 11 300 кг/м³ (қорғасын); ρ₂ = 2700 кг/м³ (алюминий).
Табу керек. ε — иіндер ұзындығының салыстырмалы айырмасы.
Идея. Есептің шарты таразы иіндерінің тең емес екенін бірден айтып тұр: дұрыс таразыда екі жағдайда да тепе-теңдік бірдей болар еді. Ауада денелерге Архимед күші әсер етеді, вакуумда — жоқ; ал Архимед күші денелердің көлемдеріне тәуелді, көлемдері әртүрлі. Осы екі бақылау екі теңдеу береді.
1. Белгілеулер: кесектің массасы m₁, көлемі V₁ = m₁/ρ₁; гірлердің массасы m₂, көлемі V₂ = m₂/ρ₂. Иіндері l₁ және l₂.
2. Ауадағы тепе-теңдік (кесек l₁ иінінде, гірлер l₂-де), Архимед күшін ескереміз:
(m₁g − ρ₀gV₁)·l₁ = (m₂g − ρ₀gV₂)·l₂.
V = m/ρ екенін қойып, g-ны қысқартамыз:
m₁(1 − ρ₀/ρ₁)·l₁ = m₂(1 − ρ₀/ρ₂)·l₂. (1)
3. Вакуумдағы тепе-теңдік — орындары ауысқан күйде (кесек l₂ иінінде, гірлер l₁-де), Архимед күші жоқ:
m₁·l₂ = m₂·l₁. (2)
4. (2)-ден m₂/m₁ = l₂/l₁. Оны (1)-ге қойсақ:
(1 − ρ₀/ρ₁)·l₁ = (l₂/l₁)(1 − ρ₀/ρ₂)·l₂,
(l₂/l₁)² = (1 − ρ₀/ρ₁) / (1 − ρ₀/ρ₂).
5. ρ₀ екі тығыздықтан да мыңдаған есе кіші, сондықтан жуықтап ашамыз: (1 − a)/(1 − b) ≈ 1 − a + b, ал √(1 + x) ≈ 1 + x/2. Сонда
l₂/l₁ ≈ 1 + (ρ₀/2)·(1/ρ₂ − 1/ρ₁) = 1 + ρ₀(ρ₁ − ρ₂)/(2ρ₁ρ₂).
6. Иіндердің салыстырмалы айырмасы:
ε = (l₂ − l₁)/l₁ ≈ ρ₀(ρ₁ − ρ₂)/(2ρ₁ρ₂) = 1,25 · (11 300 − 2700) / (2 · 11 300 · 2700),
ε ≈ 1,8·10⁻⁴ = 0,018 %.
Талдау. Айырма он мыңнан екі бөлікке де жетпейді — бірақ дәл өлшеулерде осындай ұсақ ауытқулар елеулі. Иіндердің теңсіздігінен мүлде құтылу үшін Гаусс әдісін қолданады: денені алдымен бір табаққа, сосын екіншісіне қойып өлшеп, нәтижелердің геометриялық ортасын алады — сонда l₁ мен l₂ өрнектен толық қысқарады.
Ауаның Архимед күшін ескеру де кездейсоқ емес: қорғасын мен алюминийдің тығыздықтары төрт есеге жуық өзгеше, сондықтан бірдей массада олардың көлемдері де төрт есе өзгеше, ал Архимед күштері солай ерекшеленеді.
Жауабы. ε ≈ 1,8·10⁻⁴, яғни иіндердің ұзындықтары шамамен 0,018 %-ға өзгеше.
Сүзгіге сәйкес есеп табылмады.
Осы есептерді бірге талдағыңыз келе ме?
Мастер-кластарда олимпиада есептерін қадам-қадам шығарып, оқушыларды дайындау әдістемесін қарастырамыз.